Algèbre linéaire Exemples

$y = \frac{1}{2} x + 2$ , $- 2 x + y = - 1$

Étape 1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{2} + 2, - 2 x + y = - 1$

Étape 2

Soustrayez $\frac{x}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y - \frac{x}{2} = 2, - 2 x + y = - 1$

Étape 3

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 & 2 \\ - 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 2$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 2$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 (- \frac{1}{2}) & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 2 \\ - 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 4 \\ - 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 4 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot - 2 & - 1 + 2 \cdot - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 4 \\ 0 & - 3 & - 9 \end{array}]$

Étape 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 4 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 9 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Étape 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 3 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Étape 5

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = 2$

$y = 3$

Étape 6

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(2, 3)$

Étape 7

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}]$